L’axiome de fondation

L’axiome de fondation est un des axiomes de la théorie des ensembles (TdE).

Énoncé de l’axiome: Tout ensemble x non vide possède un élément minimal pour l'appartenance sur x, c'est-à-dire un élément y n'ayant aucun élément en commun avec x :

∀x[x ≠ ∅ ⇒ ∃y(y ∈ x et y ∩ x = ∅)].

Si on définit l’appartenance à x par une loi f(.), telle que  f(y) ⇒ y∈x  on dira qu'il existe un élément y vérifiant la condition f(.) (Appartenant donc à x) mais dont aucun élément ne vérifie la condition f(.)

L’élément y  pourra lui-même être Ensemble par une autre loi et être à son tour étudié en lui appliquant l'axiome de fondation et ainsi de suite.  

L'axiome de fondation a pour utilité (entre autres), lorsqu’on veut étudier la relation d’un tout x à ses éléments y, de fixer une limite à la décomposition de x.

On notera cependant qu’il existe des variantes de la théorie des ensembles qui n’utilisent pas l’axiome de fondation, voir même qui intègrent un axiome de non-fondation.
En tant qu’axiome de la théorie des ensembles l’axiome de fondation m’est indiscutable.

D’aucuns par contre, associant la TdE à une description du réel, donnent aussi à cet axiome une raison ontologique. Ils pensent que ces situations (fondées) sont plus naturelles, qu’elles correspondent mieux à l’intuition que nous avons de ce qu’est un ensemble, que l’élément composant n’a (non pas en théorie mais en réalité) pas le même statut ontologique que l’ensemble.

Sur la base de l’axiome de fondation, la TdE échafaude en toute rigueur l’ordre qui donnera naissance à l’ensemble N des entiers dits « naturels », puis à l’arithmétique.
La solidité empirique et l’efficacité pratique incontestables du concept d’entier naturel renforcent à chaque occasion l’intuition que nous avons de la fondation du réel et nous autorise, par le raisonnement inductif, à étendre à l’infini les propriétés des ensembles dénombrables ou à concevoir des suites infinies d’opérations arithmétiques; non pas seulement comme des propriétés ou des opérations mathématiques mais comme une description du réel.

Dans les lignes qui suivent, nous tenterons pourtant de repenser cette intuition a priori sous l’angle ontologique, en considérant  le nouveau principe de compte pour Un résultant du Logos.

L’axiome de fondation permet au sujet observant de définir un horizon à partir duquel la réalité relationnelle de l’être est remplacée par le sens donné à l’objet, à l’état de
Si la structure relationnelle qui fait l'ensemble ne semble pas un mode d'être suffisant pour le sens commun, c’est parce que celui-ci confond l’être et l’existence, la réalité (ce qui est) et sa manifestation (comment cela existe) pour le sujet.
Cette nécessité de toujours remplacer une structure relationnelle par un état présent résulte de  notre incapacité à penser la réalité autre que présente, à penser le réel dans son épaisseur temporelle.
Pour reprendre une notion platonicienne, pour le sens commun la qualité f(y) serait comme une couleur à la surface de l’élément {y} et un ordre a priori (fut-il relatif) des couleurs permettrait de juger « de l’extérieur » de la vérité de f(y) et donc de constituer l’ensemble x. Certes la qualité f(y) résulterait de la structure de y, mais comme une conséquence acquise et non comme la réalité de la structure elle-même.

L'Ontologie des Connaissances (OdC)  postule au contraire que le point, la droite et la loi ont la seule nature d’être des constructions de l’esprit, aussi bien comme concepts généraux (idéalités) que comme concepts immédiats (sensations).
Par exemple, le sens commun veut que non seulement la ligne et le point soient de natures différentes mais aussi que la loi qui localise les points sur une ligne soit d’une autre nature.
Pour le sens commun l’ensemble x, la chose {y} et la loi f(y) ne sont pas de même nature, la somme des qualités d’une chose n’est pas la chose.
Pour le sens commun les éléments de l’ensemble sont des choses existantes, qui ont une existence propre, autre que de vérifier la loi qui les fait Ensemble.la chose.
Voila le biais ontologique introduit par l’axiome de fondation car la réalité n’a pas d’état. L’état n’est pas une qualité attachée au réel mais à sa représentation.
Les éléments de l’ensemble et les éléments de ces éléments etc. sont un tout informel, c'est-à-dire sans ordre a priori ou plutôt avec une infinité d’infinités d’ordres possibles. C’est le sujet observant qui y « choisit » un ordre. Le sujet ordonne pour lui-même et en lui même la réalité en composants et ensembles mais ne la change en rien.
Pour l’OdC il n’y a dans une situation aucun ordre a priori, aucune loi d’ordre a priori. L’ordre et la séparation ne sont pas deux étapes successives de la représentation mais un seul processus. L’espace n’est pas ordonné avant que le Logos n’y sépare les objets, les couleurs ne préexistent pas à la vision des couleurs. Pour reprendre une image deleuzienne : la loi qui fracture, la fracture elle-même, les éléments séparés par la fracture et les ordres apparents qui en résultent ne sont qu’une seule et même réalité.

Ce sont les invariances de la relation de {y} à la situation totale, telles qu’elles apparaissent au sujet, qui lui font apparaître {y} comme un être et à la fois donnent sens à ses attributs qui le distinguent. L’existence de x comme un ensemble est donc conditionnée par la nature relationnelle de son composant {y}.

La réalité serait donc infondée.

Cette dépendance du composé au composant est non seulement sans fond mais aussi sans limite définie, car la vérité de l’attribut du composant est dans sa relation à la situation complète et au sujet.
Voici le deuxième biais ontologique introduit par l’axiome de fondation : la loi f(y) qui définit l’appartenance à l’ensemble x n’est écrite nulle part ailleurs que dans la situation elle-même et dans son intégralité telle qu’elle apparaît au sujet.
En d’autres termes, la loi d’ordre f() n’a pas d’existence en soi, pas plus que la vérité de f(y). Elle émerge de l’interdépendance de toute la réalité (y compris {y}), de tous les existants en amont même de leur existence. La loi f() est un jugement sur des jugements, un choix parmi les ordres possibles de choix.
Pour le sujet, la proposition f(y) est la représentation d’une interdépendance entre la profondeur relationnelle dissimulée à lui par le sens de l’objet {y} et la profondeur relationnelle dissimulée à lui par le sens de tous les existants.

Lire aussi "Qu'y a t'il entre l'objet et le sujet ?"

La représentation de la réalité peut être fondée, à la condition de considérer ce fond non pas comme une limite universelle mais comme un horizon lié au sujet, à la condition de considérer les attributs qui ont sens pour nous, non comme des réalités présentes sur l’horizon de fondement, mais comme les représentations contingentes d’une réalité infiniment profonde, infondée, à condition de considérer le concept même d’attribut comme la représentation d’une profonde et totale interdépendance de tout l’existant.

Si aucune loi n’est a priori, pourquoi les attributs représentés seraient-ils « contingents »?

Nous avons vu que pour l’OdC l’interdépendance suffit comme nature unique et la réalité se présente à elle même ou se re-présente elle même sous différents modes en fonction d'un principe « sans nature », transcendant, en l'occurrence le pur hasard de sa co-fondation.

Pour l’OdC, l'absence de loi est La loi.

Les relations qui ordonnent la représentation, par un sujet émergent de façon contingente des lois transcendantes du hasard.

Bien entendu ce pur hasard et la transcendance des lois du hasard sont aussi une option ontologique.
Cette option est proche de la notion de pur devenir des stoïciens, discutée par l'article « Deleuze Logique du sens ».